«Il Teorema di Gödel compare come la Proposizione VI del suo scritto del 1931 Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei "Principia Mathematica" e di sistemi affini.  Esso afferma:

Ad ogni classe κ di formule che sia ω-coerente e ricorsiva corrispondono segni-di-classe ricorsivi r tali che né v Gen r né Neg (v Gen r) appartengano a Flg (κ) (dove v è la variabile libera di r).

Veramente l'originale è in tedesco, ma forse qualcuno avrà avuto l'impressione di sentir parlare arabo!  Ecco invece una parafrasi in un italiano più normale.

Tutte le assiomatizzazioni coerenti dell'aritmetica

contengono proposizioni indecidibili.

È questa la perla.

In essa non è facile vedere uno Strano Anello.  Ciò è dovuto al fatto che lo Strano Anello è nascosto nell'ostrica, cioè nella dimostrazione.  Il cardine della dimostrazione del Teorema di Incompletezza di Gödel è la scrittura di un enunciato matematico autoreferenziale, allo stesso modo in cui il paradosso di Epimenide è un enunciato autoreferenziale del linguaggio.  Ma mentre è molto semplice parlare del linguaggio naturale nel linguaggio naturale, non è affatto facile vedere come un enunciato sui numeri possa parlare di se stesso.  In effetti, ci voleva genialità anche solo per collegare l'idea di un enunciato autoreferenziale con l'aritmetica.  Con l'intuizione della possibilità di un enunciato del genere Gödel aveva superato l'ostacolo maggiore: la sua effettiva creazione era il compimento di quella splendida intuizione.

Esamineremo molto attentamente la costruzione di Gödel in altri Capitoli, ma perché il lettore non rimanga fino ad allora completamente all'oscuro, anticiperò qui molto sinteticamente il nocciolo dell'idea di Gödel.  Anzitutto si deve capire con assoluta chiarezza dove sta la difficoltà.  Gli enunciati matematici, e concentriamoci su quelli dell'aritmetica, riguardano le proprietà dei numeri interi.  I numeri interi non sono enunciati, né lo sono le loro proprietà.  Un enunciato dell'aritmetica non parla di un enunciato dell'aritmetica; è semplicemente un enunciato dell'aritmetica.  Questo è il problema; ma Gödel seppe riconoscere che la situazione offre maggiori possibilità di quanto non sembri a prima vista.

Egli ebbe l'intuizione che un enunciato dell'aritmetica poteva parlare di un enunciato dell'aritmetica (magari addirittura di se stesso), purché fosse possibile rappresentare in qualche modo gli enunciati mediante numeri.  In altre parole, alla base della sua costruzione c'è l'idea di un codice.  Nella codificazione di Gödel, detta anche "numerazione di Gödel" o Gödelizzazione, si assegna un numero ad ogni simbolo o successione di simboli.  In questo modo, ogni enunciato dell'aritmetica, in quanto è una successione di simboli specifici, riceve un numero di Gödel: qualcosa di simile a un numero telefonico o a una targa automobilistica, con cui si può fare riferimento ad esso.  E questo espediente della codificazione consente di interpretare gli enunciati dell'aritmetica a due diversi livelli: come enunciati dell'aritmetica e come enunciati su enunciati dell'aritmetica.

Dopo aver inventato questo schema di codificazione, GiSdel dovette elaborare dettagliatamente un modo per trapiantare il paradosso di Epimenide nel formalismo aritmetico.  La formulazione ultima del paradosso, dopo il trapianto, non fu: "Questo enunciato dell'aritmetica è falso", bensì: "Questo enunciato dell'aritmetica non ammette alcuna dimostrazione".  Ciò può creare una grande confusione, poiché di solito non si ha un'idea precisa della nozione di "dimostrazione".  In effetti, il lavoro di Gödel costituiva precisamente un contributo al lungo sforzo dei matematici per spiegare a se stessi che cosa sia una dimostrazione. È necessario tener presente che una dimostrazione è un'argomentazione che si svolge entro un determinato sistema di proposizioni.  Nel caso dell'opera di Gödel, il determinato sistema di ragionamenti aritmetici al quale la parola "dimostrazione" si riferisce è quello dei Principia Mathematica (P.M.), un'opera gigantesca di Bertrand Russell e Alfred North Whitehead pubblicata tra il 1910 e il 1913.  Quindi una formulazione più adeguata dell'enunciato G di Gödel sarebbe la seguente:

Questo enunciato dell'aritmetica non ammette alcuna dimostrazione

nel sistema dei Principia Mathematica.

Diciamo per inciso che l'enunciato G non è il Teorema di Gödel, non più di quanto l'enunciato di Epimenide coincida con questa osservazione: "L'enunciato di Epimenide è un paradosso".  Possiamo ora accennare alle conseguenze della scoperta di G. Mentre l'enunciato di Epimenide crea un paradosso poiché non è né vero né falso, l'enunciato G di Gödel è indimostrabile (all'interno dei Principia Mathematica) ma vero.  Qual è la grande conclusione?  Che il sistema dei Principia Mathematica è "incompleto": vi sono enunciati veri dell'aritmetica che i metodi di dimostrazione del sistema sono troppo deboli per dimostrare.

Ma se i Principia Mathematica sono stati la prima vittima di questo colpo, non furono certo l'ultima!  L'espressione "e sistemi affini" nel titolo del lavoro di Gödel è significativa; se infatti il risultato di Gödel avesse semplicemente individuato un difetto nell'opera di Russell e Whitehead, vi sarebbe stata la possibilità che altri trovassero il modo di migliorare i P.M., eludendo così il Teorema di Gödel.  Ma ciò non era possibile: la dimostrazione di Gödel riguardava qualsiasi sistema assiomatico che pretendesse di raggiungere gli obiettivi che Whitehead e Russell si erano posti.  E per ogni altro sistema, un metodo basilarmente identico portava a risultati analoghi.  In breve, Gödel metteva in evidenza che la dimostrabilità è una nozione più debole della verità, indipendentemente dal sistema assiomatico considerato.

Perciò il Teorema di Gödel ebbe un effetto elettrizzante sui logici, sui matematici e sui filosofi interessati al fondamenti della matematica, poiché mostrava che nessun determinato sistema, per quanto complicato esso fosse, poteva rappresentare la complessità dei numeri interi: 0, 1, 2, 3...  I lettori di oggi saranno meno sconcertati da questo fatto dei lettori del 1931, poiché nel frattempo la nostra cultura ha assorbito il Teorema di Gödel, insieme con le rivoluzioni concettuali della relatività e della meccanica quantistica, e i loro messaggi sconcertanti a livello filosofico hanno raggiunto il pubblico, anche se attenuati dai numerosi passaggi del processo di trasmissione (che normalmente equivale a offuscamento).  Oggi c'è nella gente uno stato d'animo di aspettativa che la rende preparata ad accogliere risultati "limitativi"; ma nel lontano 1931 questa notizia cadde come un fulmine a ciel sereno.»